如图点P为斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱BB1上一点PM⊥BB1交AA1于点MPN⊥BB1交CC1于点N.(1)求证:CC1⊥MN;(2)在任意△DEF中有余弦定理:DE2=DF2+EF2

Question

如图 点 P 为斜三棱柱A B C—A ₁ B ₁ C ₁ 的侧棱 BB ₁ 上一点 PM ⊥ BB ₁ 交AA ₁ 于点 M PN ⊥ BB ₁ 交CC ₁ 于点 N .

       (1)求证:CC ₁ ⊥ MN ;

       (2)在任意△DEF中有余弦定理:DE ² =DF ² +EF ² -2DF·EF·cos∠DFE.拓展到空间 类比三角形的余弦定理 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式 并予以证明.

Answer 1

解析:(1)证明:∵CC ₁ ∥ BB ₁ CC ₁ ⊥ PM CC ₁ ⊥ PN 且 PM ∩ PN = P 

       ∴CC ₁ ⊥平面 PMN CC ₁ ⊥ MN .

       (2)在斜三棱柱A B C—A ₁ B ₁ C ₁ 中 有 S _{A BB 1A1} ² = S _{B CC1 B 1} ² + S _ACC1A1 ² -2 S _{B CC1 B 1} · S _ACC1A1 cos α 其中 α 为平面CC ₁ B ₁ B 与平面CC ₁ A ₁ A所组成的二面角.

       ∵CC ₁ ⊥平面 PMN ∴上述的二面角为∠ MNP .在△ PMN 中 PM ² = PN ² + MN ² -2 PN · MN ·cos

∠ MNP PM ² CC ₁ ² = PN ² CC ₁ ² + MN ² CC ₁ ² -2( PN ·CC ₁ )·( MN ·CC ₁ )cos∠ MNP 由于 S _{B CC1 B 1} = PN ·CC ₁ S _ACC1A1 = MN ·CC ₁ S _{A BB 1A1} = PM · BB ₁ 

       ∴有 S _{A BB 1A1} ² = S _{B CC1 B 1} ² + S _ACC1A1 ² -2 S _{B CC1 B 1} · S _ACC1A1 cos α .