集合{1,2,3.3n}可以划分成n个互不相交的三元集合{x,y,z},其中x+y=3z,求满足的最小正整数n?（复制网上的就不要答了,网上的我看不懂,谁能有更浅显的解答,分就给他了）

Question

集合{1,2,3.3n}可以划分成n个互不相交的三元集合{x,y,z},其中x+y=3z,求满足的最小正整数n?
（复制网上的就不要答了,网上的我看不懂,谁能有更浅显的解答,分就给他了）

Answer 1

一个一个试的话可求n=5,可分为以下五个互不相交的集合（1,3,8）（2,5,13）（4,6,14）（7,10,11）（9,12,15）
如果用整除和不等式来限定n会比较麻烦,一个一个代入会清晰明了
n=1,n=2的情况肯定不行,自己列一下就看的出
n=3时,集合A=｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝
先考虑最大的数9能够成的集合,在依次考虑8,7,6……
（1）｛9,6,5｝【（9+6）÷3=5】第二个元素从大到小试,必须与9相加能被3整除；
｛8,1,3｝【（8+1）÷3=3】第二个元素不能是7或4,不然元素重复；｛7,2,3（重复）｝【（7+2）÷3=3】,3和第二个集合重复,故第一类不行.
（2）｛9,3,4｝【（9+3）÷3=4,以下不细写】；｛8,7,5｝；｛6,……｝没有剩余的数与6相加能被3整除.
或者是｛9,3,4｝；｛8,1,……｝第二个元素不能是4,会与第一个集合中的4重复,且当第二个元素是1时；第三个元素也不能是3.
如此可知n=3不行
n=4时,集合A=｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12｝
同样采取以上列举方法
（1）｛12,9,7｝；｛11,4,5｝；｛10,8,6｝；最后剩1,2,3不能构成符合条件的集合
（2）｛12,9,7｝；｛11,1,4｝；｛10,8,6｝；最后剩2,3,5不能构成符合条件的集合
（3）｛12,3,5｝；｛11,10,7｝；｛9,6,5｝重复元素
（4）｛12,3,5｝；｛11,7,6｝；｛10,2,4｝第二个元素不能是8或5；最后剩1,8,9不能构成符合条件的集合
故n=4也不对（找不出互不相交的集合）
n=5时,集合A=｛1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15｝
（1）｛15,12,9｝；｛14,10,8｝；｛13,5,6｝第二个元素不能是11和8,不然元素重复；｛11,1,4｝；｛7,2,3｝
只要试第一个就得到答案,所以n=5.
再分类时要有小技巧,前两个元素相加要被3整除,并且每个元素要从大到小试,每个元素要不重复.慢点看,肯定会看懂