已知函数f（x）=ex-aex（a∈R，e是自然对数的底数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x∈R时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=e^x-aex（a∈R，e是自然对数的底数）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当x∈R时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由f（x）=e^x-eax，得f'（x）=e^x-ea．
当a≤0时，f'（x）=e^x-ea>0，则f（x）在R上为增函数；
当a>0时，由f'（x）=e^x-ea=e^x-e^1+lna=0，解得x=1+lna．
当x<1+lna时，f'（x）<0；当x>1+lna时，f'（x）>0．
所以f（x）在（-∞，1+lna）上为减函数，
在（1+lna，+∞）上为增函数．
（2）结合（1），得：
当a<0时，设a<-1，则f（2a）=e^2x-ea•2a=e^2x-2ea²<0，
这与“当x∈R时，f（x）≥0恒成立”矛盾，此时不适合题意．
当a=0时，f（x）=e^x，满足“当x∈R时，f（x）≥0恒成立”．
当a>0时，f（x）的极小值点，也是最小值点，
即f(x)min=f(1+lna)=e1+lna-ea(1+lna)=-ealna，
由f（x）≥0，得-ealna≥0，解得0<a≤1．
综上，a的取值范围是[0，1]．