已知函数f（x）=ekx（k是不为零的实数，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y=f（x）与y=x2有公共点，且在它们的某一公共点处有共同的切线，求k的值；（2）若函数h（x）=f（x）（x2-2kx-2）在

Question

已知函数f（x）=e^kx（k是不为零的实数，e为自然对数的底数）．
（1）若曲线y=f（x）与y=x²有公共点，且在它们的某一公共点处有共同的切线，求k的值；
（2）若函数h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间(k，(1)/(k))内单调递减，求此时k的取值范围．

Answer 1

（1）设曲线y=f（x）与y=x²有共同切线的公共点为P（x₀，y₀），
则ekx0＝

x

2 0

          ①，
又∵y=f（x）与y=x²在点P（x₀，y₀）处有共同切线，
且f′（x）=ke^kx，（x²）′=2x，
∴kekx0＝2x0     ②，
由①②解得，k＝±(2)/(e)．                   
（2）由f（x）=e^kx得，函数h（x）=（x²-2kx-2）e^kx，
∴（h（x））′=[kx²+（2-2k²）x-4k]e^kx
=k[x2+((2)/(k)−2k)x−4]ekx=k(x−2k)(x+(2)/(k))ekx．              
又由区间(k，(1)/(k))知，(1)/(k)＞k，
解得0＜k＜1，或k＜-1．             
①当0＜k＜1时，
由（h（x））'=k(x−2k)(x+(2)/(k))ekx＜0，得−(2)/(k)＜x＜2k，
即函数h（x）的单调减区间为(−(2)/(k)，2k)，
要使h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间(k，(1)/(k))内单调递减，
则有

0＜k＜1

k≥−(2)/(k)

(1)/(k)≤2k

，解得(√(2))/(2)≤k＜1．                                 
②当k＜-1时，
由（h（x））'=k(x−2k)(x+(2)/(k))ekx＜0，得x＜2k或x＞−(2)/(k)，
即函数h（x）的单调减区间为（-∞，2k）和(−(2)/(k)，+∞)，
要使h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间(k，(1)/(k))内单调递减，
则有

k＜−1

(1)/(k)≤2k

，或

k＜−1

k≥−(2)/(k)

，
这两个不等式组均无解．
综上，当(√(2))/(2)≤k＜1时，
函数h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间(k，(1)/(k))内单调递减．