已知函数f（x）=ex-ax-1（a>0，e为自然对数的底数）．（1）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（2）在（1）的条件下，证明：（1n）n+（2n）n+…+（n-1n）n+（nn）n<ee-1（n∈N*）

Question

已知函数f（x）=e^x-ax-1（a>0，e为自然对数的底数）．
（1）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，证明：（(1)/(n)）ⁿ+（(2)/(n)）ⁿ+…+（(n-1)/(n)）ⁿ+（(n)/(n)）ⁿ<(e)/(e-1)（n∈N^*）

Answer 1

（1） f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）_min≥0．
由题意a>0，f′（x）=e^x-a，
由f′（x）=e^x-a=0，得x=lna．
当x∈（-∞，lna）时，f′（x）<0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）>0．
则f（x）在（-∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．
设g（a）=a-alna-1，所以g（a）≥0．
由g′（a）=1-lna-1=-lna=0得a=1．
则g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．
因此g（a）≥0的解为a=1，故a=1；
（2）证明：由（1）可知：当x>0时，e^x>x+1，即e^x>x，
即有e^nx>xⁿ．
则（(1)/(n)）ⁿ<e，（(2)/(n)）ⁿ<e²，（(3)/(n)）ⁿ<e³，…，（(n)/(n)）ⁿ<eⁿ，
则（(1)/(n)）ⁿ+（(2)/(n)）ⁿ+…+（(n-1)/(n)）ⁿ+（(n)/(n)）ⁿ<e+e²+e³+…+eⁿ=(e(1-en))/(1-e)<(e)/(e-1)
故（(1)/(n)）ⁿ+（(2)/(n)）ⁿ+…+（(n-1)/(n)）ⁿ+（(n)/(n)）ⁿ<(e)/(e-1)成立．