设函数f（x）=x2-2ex-lnxx+a（其中e为自然对数的底数，若函数f（x）至少存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A.(0，e2-1e]B.(0，e2+1e]C.[e2-1e，+∞)D.(-∞，e2+1e]

Question

设函数f（x）=x²-2ex-

(lnx)/(x)+a（其中e为自然对数的底数，若函数f（x）至少存在一个零点，则实数a的取值范围是（　　）

A. (0，e2-

(1)/(e)]

B. (0，e2+

(1)/(e)]

C. [e2-

(1)/(e)，+∞)

D. (-∞，e2+

(1)/(e)]

Answer 1

令f（x）=x²-2ex-(lnx)/(x)+a=0，
则a=-x²+2ex+(lnx)/(x)(x>0)，
设h（x）=-x²+2ex+(lnx)/(x)，
令h₁（x）=-x²+2ex，h₂（x）=(lnx)/(x)，
∴h₂′（x）=(1-lnx)/(x2)，发现函数h₁（x），h₂（x）在（0，e）上都是单调递增，在[e，+∞）上都是单调递减，
∴函数h（x）=-x²+2ex+(lnx)/(x)在（0，e）上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，
故当x=e时，得h（x）_min=e²+(1)/(e)，
∴函数f（x）至少存在一个零点需满足a≤h（x）_max，
即a≤e²+(1)/(e)．
故选：D．