设函数f（x）=（x-a）2lnx,a∈R（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点,求实数a；（Ⅱ）求实数a的取值范围,使得对任意的x∈（0,3e],恒有f（x）≤4e2成立．注：e为自然对数的底数．我不知道做第二问,大

Question

设函数f（x）=（x-a）2lnx,a∈R
（Ⅰ）若x=e为y=f（x）的极值点,求实数a；
（Ⅱ）求实数a的取值范围,使得对任意的x∈（0,3e],恒有f（x）≤4e2成立．
注：e为自然对数的底数．
我不知道做第二问,大家有没有什么简便的方法?但看不太懂的说……谢谢啦

Answer 1

（I）求导得f′（x）=2（x-a）lnx+(x-a)^2*1/x =（x-a）（2lnx+1- a/x）,
因为x=e是f（x）的极值点,
所以f′（e）=0
解得a=e或a=3e．
经检验,符合题意,
所以a=e,或a=3e
（II）①当0＜3a≤1时,对于任意的实数x∈（0,3a],恒有f（x）≤0＜4e2成立,即0＜a≤ 1/3符合题意
②当3a＞1时即a＞ 1/3 时,由①知,x∈（0,1]时,不等式恒成立,故下研究函数在（1,3a]上的最大值,
首先有f（3a）=（3a-a）2ln3a=4a2ln3a此值随着a的增大而增大,故应有
4a2ln3a≤4e2即a2ln3a≤e2,
故参数的取值范围是0＜a≤ 1/3或a＞ 1/3 且a2ln3a≤e2,