怎么证明：奇数次代数方程至少有一个实根?

Question

怎么证明：奇数次代数方程至少有一个实根?

Answer 1

单调性的角度来说,最高次项为奇数的函数,不妨设这个最高次项的系数为正的（如果为负的话,后面的单调性反过来就是了）,在自变量取值充分大的时候,肯定会急剧递增；在自变量取值充分小的时候,也会急剧递减.所以,函数在负无穷到正无穷的总体趋势,函数值一定是从负无穷递增到正无穷,因此,必然会存在函数曲线与x轴的交点,所以必然至少有一个实根.复数的角度来说,一个n次代数方程,肯定存在n个复数根（实数视为虚部为0的复数）,其中不是实数的虚数根,总是和其共轭复数成对出现.也就是说,如果a+bi是一个代数方程的根,那么a-bi也一定是这个方程的根.所以,只要有虚数根,那就只能有双数个,因此,n个根中至少有一个是实数根.