（2014•赤峰模拟）已知函数f（x）=ax-ax-2lnx（a∈R）．（1）当a＞0时，求f（x）的单调区间；（2）若2ee2+1＜a＜1，设x1，x2是函数f（x）的两个极值点，且x1＜1＜x2，记m、n分别为f（x）的极大值

Question

（2014•赤峰模拟）已知函数f（x）=ax-(a)/(x)-2lnx（a∈R）．
（1）当a＞0时，求f（x）的单调区间；
（2）若(2e)/(e2+1)＜a＜1，设x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点，且x₁＜1＜x₂，记m、n分别为f（x）的极大值和极小值，令z=m-n，求实数z的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax-(a)/(x)-2lnx，
∴f′（x）=(ax2−2x+a)/(x2)，
令g（x）=ax²-2x+a（a＞0），△=4（1-a²）
①a≥1时，△≤0，g（x）≥0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）‘
②0＜a＜1时，△＞0，令g（x）=0，则x₁=(1−√(1−a2))/(a)，x₂=(1+√(1−a2))/(a)，
f（x）的单调增区间为（0，x₁），（x₂，+∞），单调减区间为（x₁，x₂）；
（2）由题意，ax₁²-2x₁+a=0，ax₂²-2x₂+a=0，
∴a=(2x1)/(x12+1)且x₁x₂=1
由(2e)/(e2+1)＜a＜1，得(1)/(e)＜x₁＜1，
z=m-n=2a（x₁-(1)/(x1)）-4lnx₁=4（(x12−1)/(x12+1)-(1)/(2)lnx12）（(1)/(e2)＜x12＜1）．
令t=x12，则(1)/(e2)＜t＜1，