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证明任何一元单调函数都是L可测函数
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证明任何一元单调函数都是L可测函数
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答案和解析
设单调函数为f.不妨设f单调递增,递减的证法完全类似.
对于任意实数t,
若t在f的值域内,则必然存在唯一的x_0,使得f(x_0)=t,所以E(f>t)=区间(x_0,+∞)∩E,当然两个可测集之交还是可测集,所以f可测.
若t不属于f值域,那就取f值域里面最接近t但是比t大的那个数t_0,f(x_0)=t_0,所以E(f>t)=区间(x0,+∞)∩E,还是可测集；
若t大于值域中任何数,E(f>t)=∅,显然是可测集.
综上所述,单调函数f可测.
对于任意实数t,
若t在f的值域内,则必然存在唯一的x_0,使得f(x_0)=t,所以E(f>t)=区间(x_0,+∞)∩E,当然两个可测集之交还是可测集,所以f可测.
若t不属于f值域,那就取f值域里面最接近t但是比t大的那个数t_0,f(x_0)=t_0,所以E(f>t)=区间(x0,+∞)∩E,还是可测集；
若t大于值域中任何数,E(f>t)=∅,显然是可测集.
综上所述,单调函数f可测.
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