若有穷数列{an}满足：a1=an，a2=an-1，…，an=a1，即ai=an-i+1（i是正整数，且1≤i≤n）就称数列{an}为对称数列．（1）已知数列{bn}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=2，b4=11，试

Question

若有穷数列{a_n}满足：a₁=a_n，a₂=a_n-1，…，a_n=a₁，即a_i=a_n-i+1（i是正整数，且1≤i≤n）就称数列{a_n}为对称数列．
（1）已知数列{b_n}是项数为7的对称数列，且b₁，b₂，b₃，b₄成等差数列，b₁=2，b₄=11，试写出数列{b_n}的每一项；
（2）已知数列{c_n}是项数为2k-1（k＞1）的对称数列，且c_k，c_k+1，c_k+2，…，c_2k-1构成首项为50，公差为-4的等差数列，数列{c_n}的前2k-1项和为s_2k-1，问k为何值时s_2k-1取得最大值，最大值为多少？
（3）对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1、3、5、…、2m-1成为数列中的连续项，当m≥1500时，试求其中一个数列的前2014项和s₂₀₁₄．

Answer 1

（1）设{b_n}的公差为d，则b₄=b₁+3d=2+3d=11，解得d=3，
∴数列{b_n}为2，5，8，11，8，5，2．
（2）S_2k-1=c₁+c₂+…+c_k-1+c_k+c_k+1+…+c_2k-1=2（c_k+c_k+1+…+c_2k-1）-c_k，
∴S_2k-1=-4（k-13）²+4×13²-50，
∴当k=13时，S_2k-1取得最大值．S_2k-1的最大值为626．
（3）所有可能的“对称数列”是：
①1，3，5，…，2m-1，2m-3，…，5，3，1；
②1，3，5，…，2m-1，2m-1，2m-3，…，5，3，1；
③2m-1，2m-3，…，5，3，1，3，5，…，2m-3，2m-1；
④2m-1，2m-3，…，5，3，1，1，3，5，…，2m-3，2m-1．
对于①，当m≥2014时，S₂₀₁₄=1+3+5+…+（2×2014-1）=2014²．
当1500≤m≤2013时，S₂₀₁₄=1+3+…+（2m-1）+（2m-3）+…+（4m-4029）=m²+((2014−m)[(2m−3)+(4m−4029)])/(2)=m²+（2014-m）（3m-2016）．
对于②，当m≥2014时，S₂₀₁₄=2014²．
当1500≤m≤2013时，S₂₀₁₄=m²+（2014-m）（3m-2014）．
对于③，当m≥2014时，S₂₀₁₄=4028m-2014²．
当1500≤m≤2013时，S₂₀₁₄=m²+（2014-m）（2016-m）．
对于④，当m≥2014时，S₂₀₁₄=4028m-2014²．
当1500≤m≤2013时，S₂₀₁₄=m²+（2014-m）²．