证明如果周期函数f(x)在某点x0连续,并且不是常值函数,则f(x)一定有最小正周期

Question

证明如果周期函数f(x)在某点x0连续,并且不是常值函数,则f(x)一定有最小正周期

Answer 1

刚好答过一个一样的.
由f(x)非常值, 存在x1使f(x1)不等于f(x0).
又f(x)在x0点连续, 故存在δ > 0, 使任意x∈(x0-δ,x0+δ)有|f(x)-f(x0)| < |f(x1)-f(x0)|.
于是(x0-δ,x0+δ)中没有取值为f(x1)的点.
若存在f(x)的一个周期T满足0 < T ≤ δ, 取整数m满足m ≤ (x1-x0)/T < m+1.
则x0 ≤ x1-mT < x0+T < x0+δ, 即有x1-mT∈(x0-δ,x0+δ), 但f(x1-mT) = f(x1), 矛盾.
因此f(x)的正周期 > δ.
设t为f(x)所有正周期的下确界, 有t ≥ δ >0.
若t不是f(x)的周期, 由下确界的定义, 区间(t, t+δ)中存在无穷多的f(x)的周期.
但周期的差还是周期, 这样可得到