求三角函数的和差化积公式及积化和差公式

Question

求三角函数的和差化积公式及积化和差公式

Answer 1

积化和差,和差化积”公式:
1、积化和差公式：
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]
积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得.其中后两个公式可合并为一个：
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]
2、和差化积公式
sinθ+sinφ=2sincos sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinθ-sinφ=2cossin sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosθ+cosφ=2coscos cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosθ-cosφ=-2sinsin cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
和差化积公式是积化和差公式的逆用形式,要注意的是：
①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sincos
②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想,和差化积公式的推导用了“换元”思想.
③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差,才能直接运用公式化成积的形式,如果一个正弦与一个余弦的和或差,则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积.
④合一变形也是一种和差化积.
⑤三角函数的和差化积,可以理解为代数中的因式分解,因此,因式分解在代数中起什么作用,和差化积公式在三角中就起什么作用.
3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟,不可分离,在解题过程中,要切实注意两者的交替使用.如在一般情况下,遇有正、余弦函数的平方,要先考虑降幂公式,然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时,
角度要重新组合,因此有可能产生特殊角；结构将变化,因此有可能产生互消项或互约因式,从而利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.