在△ABC中,证明：sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)已知向量a=（cosθ,sin(10°-θ））,向量b=（cos10°,cos50°）若向量a⊥向量b,求tanθ第一题就不用做了，我会了。过程中不要出现和差化积，积化和差~3

Question

在△ABC中,证明：sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)
已知向量a=（cosθ,sin(10°-θ））,向量b=（cos10°,cos50°）若向量a⊥向量b,求tanθ
第一题就不用做了，我会了。
过程中不要出现和差化积，积化和差~
3.在△ABC中，∠A=π/6，D是BC变上任意一点（D与B，C不重合），若|向量AB|平方=|向量AD|平方+向量BD*向量DC则，角B=
4.已知O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足向量OP=向量OA+λ（向量AB/|向量AB|sinB + 向量AC/|向量AC|sinC），λ∈[0,+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
5.f(x)=sin四次方x+cos平方x+（1/4）sin2xcos2x(x∈R），则f(x)
A.最大值为2 B.最小正周期为π C.一条对称轴为x=4/π D.一个对称中心为（-π/16,7/8）

Answer 1

1、
A+B+C=π,(A+B)/2+C/2=π/2,
sin [(A+B)/2]= cos (C/2),
sin (C/2)=cos [(A+B)/2],
sin C= 2*sin (C/2) *cos (C/2),
sin A + sin B=2*sin ((A+B)/2)*cos ((A-B)/2)
=2*cos (C/2)*cos ((A-B)/2),
所以
sin A+sin B+sin C=2*cos (C/2) *[cos ((A-B)/2)+cos [(A+B)/2]]
=2*cos (C/2)*2*cos (B/2)*cos(A/2)（和差化积）
=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2).
2、
向量a⊥向量b,则a、b的内积为0,故
cosθ*cos10°+sin(10°-θ)*cos50°=0,
sin(10°-θ)=sin10°*cosθ - cos10°* sinθ
代入上式,可得：
[cos(π/18)+cos(5π/18)*sin(π/18)] cosθ =cos(5π/18)cos(π/18)*sinθ,(10°=π/18)
所以 tanθ=tan(π/18) +1/cos(5π/18),继续化简,可知,tanθ=√3.
化简过程如下
tanθ=tan(π/18) +1/cos(5π/18)
=[cos(π/18)+cos(5π/18)*sin(π/18)]/[cos(5π/18)cos(π/18)]
=[sin(4π/9)+sin(2π/9)*cos(4π/9)]/[sin(2π/9)cos(π/18)] （sin(2π/9)=cos(5π/18),cos(π/18)=sin(4π/9),sin(π/18)=cos(4π/9)）
=sin(2π/9)*[2*cos(2π/9)+cos(4π/9)]/[sin(2π/9)cos(π/18)] （[sin(4π/9)=2*sin(2π/9)*cos(2π/9)
=[2*cos(2π/9)+cos(4π/9)]/cos(π/18)
={cos(2π/9)+[cos(2π/9)+cos(4π/9)]}/cos(π/18)
={cos(2π/9)+2*cos(π/3)*cos(π/9)}/cos(π/18) （和差化积）
=[cos(2π/9)+cos(π/9)]/cos(π/18)
=2*cos(π/6)*cos(π/18)]/cos(π/18) （和差化积）
=2*cos(π/6)
=√3.
第二题如果不能用和差化积等公式,恐怕会不容易.
3.在△ABC中,∠A=π/6,D是BC边上任意一点（D与B,C不重合）,若|向量AB|^2=|向量AD|^2+向量BD*向量DC,则∠B= ( 5π/12).
由于题目声称“D是BC边上任意一点”,说明所给等式不论D在何处都成立,于是考虑特殊情况.（正规考试题目都比较严谨,用特值法问题不大——如果是小型考试就未必了）
解法一（极端性原理）：让D与C重合,则AC^2=AD^2=AB^2,即为等腰三角形,顶角π/6,则底角5π/12.
解法二（特值法）：让AD⊥BC,于是AB^2-AD^2=BD^2,从而BD*CD=BD^2,BD=CD,高AD也是中线,则为等腰三角形.之后计算同方法一.
解法三（一般情况,填空题用特值法常常会遗漏某些情况,故而常常要考虑一般情况）：
需做图,做一锐角三角形ABC（钝角三角形的情况结论相同）,
做高AE,不妨设E在CD上（若在BD上,需稍加修改）,设AE=h,CE=x,CD=p,BD=q,则DE=p-x,BE=p+q-x,
则AD^2=AE^2+DE^2=h^2+(p-x)^2,
AB^2=AE^2+BE^2=h^2+(p+q-x)^2,
AB^2-AD^2=(p+q-x)^2-(p-x)^2=2xq+q^2,
即pq=BD*CD= q (q + 2 p - 2 x),
q≠0,所以 p=q + 2 p - 2 x,x=(p+q)/2=BC/2,
即E为BC中点,于是ABC为等腰三角形.之后计算同方法一.
4.已知O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足向量OP=向量OA+λ（向量AB/(|向量AB|*sinB) + 向量AC/(|向量AC|*sinC)）,λ∈[0,+∞）,则点P的轨迹一定通过△ABC的 （ C ）
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
题目条件转化为：
向量AP=λ/sinB*向量AB/|向量AB| + λ/sinC*向量AC/|向量AC|,
向量AP=λ/sinB*向量c0 + λ/sinC*向量b0,
向量c0=向量AB/|向量AB|表示AB方向上的单位向量,
向量b0=向量AC/|向量AC|表示AC方向上的单位向量,
做BC边上的高AD,中线AE,延长AE至F使得AE=EF,则ABFC为平行四边形.
设AD=h,当λ=AD=h时,λ/sinB=AB,λ/sinC=AC,
于是向量AP=AB*向量c0 + AC*向量b0,
向量AP=向量AB+向量AC=向量AF,
当λ≠AD时,设λ=k*h（k为实数）,很容易得到向量AP=k*向量AF.
故P点总是在直线AF上,即在中线AE所在直线上,中线过重心,故选C.
5.f(x)=sin^4 (x)+cos^2 (x)+1/4*sin 2x cos 2x (x∈R）,则f(x)
（ D ）
A.最大值为2 B.最小正周期为π
C.一条对称轴为x=4/π D.一个对称中心为（-π/16,7/8）
化简（半角公式、倍角公式等,不用和差化积）：
f(x)=7/8+√2/8*sin (4x+π/4),于是马上排除A、B选项.
对称中心即正弦部分取值为0的点（回忆sin x的曲线就知道）,x=-π/16时,4x+π/4=0,故为对称中心横坐标,此时f(x)=7/8.故选D.
C如果改为“一条对称轴为x=π/4”也正确.