求极限时和差化积怎么变的

Question

求极限时和差化积怎么变的

Answer 1

所谓和差化积指的是对三角函数
sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
下面证明 sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
　　sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,
将以上两式的左右两边分别相加,得
　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,
设 α+β=θ,α-β=φ
那么 α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2
把α,β的值代入sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,即得
　　sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]
其他公式的证明类似