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已知:关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2+3m+2=0(m为实数)的两个实数根分别是△ABC的两边AB、AC的长,且第三边BC的长为5.当m取何值时,△ABC为直角三角形?
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已知:关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2+3m+2=0(m为实数)的两个实数根分别是△ABC的两边AB、AC的长,且第三边BC的长为5.当m取何值时,△ABC为直角三角形?
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答案和解析
∵a=1,b=-(2m+3),c=m2+3m+2,
∴△=b2-4ac,
=[-(2m+3)]2-4(m2+3m+2),
=4m2+12m+9-4m2-12m-8,
=1>0,
∴无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根,
由求根公式得:x=
=
,
即x1=m+2,x2=m+1,
不妨设AB=m+1,AC=m+2,则AB<AC,
∵△ABC为直角三角形且第三边BC=5,
当BC为直角边时,由勾股定理得:
AB2+BC2=AC 2
∴(m+1)2+52=(m+2)2,
解得m=11,
当BC为斜边时,由勾股定理得:AB2+AC2=BC2,
∴(m+1)2+(m+2)2=52,
解得m1=2,m2=-5,
当m=-5时,AB=m+1=-4,
∴m=-5(舍去)
∴m=11或m=2时,△ABC为直角三角形.
∴△=b2-4ac,
=[-(2m+3)]2-4(m2+3m+2),
=4m2+12m+9-4m2-12m-8,
=1>0,
∴无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根,
由求根公式得:x=
-b±
| ||
2a |
(2m+3)±1 |
2 |
即x1=m+2,x2=m+1,
不妨设AB=m+1,AC=m+2,则AB<AC,
∵△ABC为直角三角形且第三边BC=5,
当BC为直角边时,由勾股定理得:
AB2+BC2=AC 2
∴(m+1)2+52=(m+2)2,
解得m=11,
当BC为斜边时,由勾股定理得:AB2+AC2=BC2,
∴(m+1)2+(m+2)2=52,
解得m1=2,m2=-5,
当m=-5时,AB=m+1=-4,
∴m=-5(舍去)
∴m=11或m=2时,△ABC为直角三角形.
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