1,讨论入为何值时齐次线性方程组X1+2X2+入X3=02X1+X2-X3=0X1+X2+13X3=0有非零解,并求其一般解.

Question

1,讨论 入 为何值时齐次线性方程组 X1+2X2+入X3=0
2X1+X2-X3=0
X1+X2+13X3=0
有非零解,并求其一般解.

Answer 1

如果学过线性代数,那么解这道题是非常容易的.估计你没学过,不过用初等方法也可以做.
我们知道,对于1次方程ax=0,如果有非零解,则必有a=0.本题是三元一次方程组,次数为1.显然0是方程组的一组解,如过还存在非零解,则该方程有2组或2组以上的解.类比一元一次方程,可以用两组方程通过适当的比配使第三组方程的系数全为0.本题我们用方程（2）,（3）,先将方程（1）中x1,x2的系数配成0,即由（2式）*（-1）+（3式）*（3）得
x1+2x2+40x3=0 (4式)
再由（1式）-（4式）,得
0*x1+0*x2+(入-40)x3=0,为使该方程系数全为零,得入=40
当入=40时,方程的解只取决于（2式）和（3式）.
令x3=a,解二元一次方程组
2x1+x2=a
x1+x2=-13a
得x1=14a,x2=-27a,故原方程组的解集为
x1=14a
x2=-27a
x3=a
其中a为任意实数.