问λ为何值时，线性方程组x1+x3＝λ4x1+x2+2x3＝λ+26x1+x2+4x3＝2λ+3有解，并求出解的一般形式．

Question

问λ为何值时，线性方程组

x1+x3＝λ

4x1+x2+2x3＝λ+2

6x1+x2+4x3＝2λ+3

有解，并求出解的一般形式．

Answer 1

对方程组的增广矩阵做初等行变换，化成行阶梯形矩阵：

.

A

＝

1	0	1	λ
4	1	2	λ+2
6	1	4	2λ+3

r2−4r1，r3−6r1

1	0	1	λ
0	1	−2	−3λ+2
0	1	−2	−4λ+3

r3−r2

1	0	1	λ
0	1	−2	−3λ+2
0	0	0	−λ+1

，
∴当λ=1时，r(A)＝r(

.

A

)＝2＜3，此时方程组有无穷多解，
且

.

A

r

1	0	1	1
0	1	−2	−1
0	0	0	0

，
取x₃为自由变量，则：

x1＝1−x3

x2＝−1+2x3

，
令x₃=c，其中c为任意常数，
∴方程组的解为：

x1

x2

x3

＝

1−c

−1+2c

c

，其中c为任意常数．