设4阶矩阵A的主对角线上的元素均为1,二其余的元素全为a,且A的秩为3,则a?求此类解题方法

Question

设4阶矩阵A的主对角线上的元素均为1,二其余的元素全为a,且A的秩为3,则a?
求此类解题方法

Answer 1

-1/3
解法就是用初等变换：
A=
1 a a a
a 1 a a
a a 1 a
a a a 1
第2,3,4行都加到第一行上：
1+3a 1+3a 1+3a 1+3a
a 1 a a
a a 1 a
a a a 1
接下来要分情况了：
（1）如果1+3a=0,即a=-1/3,那么此时矩阵的元素都是确定的数了,矩阵的秩到底是多少能够精确的算出来：
0 0 0 0
-1/3 1 -1/3 -1/3
-1/3 -1/3 1 -1/3
-1/3 -1/3 -1/3 1
继续做初等变换,很容易得到秩为3,符合题意.
（2）如果1+3a不等于0,那么第一行可以同时除以(1+3a)使其变为全1.
注意,只有在1+3a不等于0是才能这么做,因为除数不能为0.
1 1 1 1
a 1 a a
a a 1 a
a a a 1
再2,3,4行减去第一行的a倍：
1 1 1 1
0 1-a 0 0
0 0 1-a 0
0 0 0 1-a
此时再讨论a
如果a=1,那么秩为1
如果a不等于1,那么秩为4,
都不符合情况.
所以本题答案就是a=-1/3