关于无零点的多项式函数的倒数问题证明一个无零点的多项式函数y=f（x）不能满足等式y‘’=-y.然后用此结论证明sinx和cosx都不是多项式函数提问应该是导数，不是倒数，这里用的

Question

关于无零点的多项式函数的倒数问题
证明 一个 无零点的 多项式函数 y=f（x） 不能满足 等式 y‘’=-y.
然后用此结论证明 sinx 和 cosx 都不是多项式函数
提问 应该是 导数，不是倒数，这里用的 是导数之后再求导数，也就是 y''

Answer 1

任意多项式函数(只要不是0次的)求导后
1 仍是多项式函数
2 次数降低
0多项式除外
原多项式不是0多项式(即不恒等于0)
从而分两种情况,f(x)是0次多项式(即不等于0的常数)或一次多项式,此时二阶导=0不满足y''=-y
f(x)是二次或二次以上的多项式.此时其二阶导
1 仍是多项式函数
2 次数降低
故不满足y''=-y,从而一个非0多项式函数 y=f（x） 不能满足 等式 y‘’=-y.
sinx 和 cosx 都若是多项式函数则满足要么恒等于0,要么不满足y‘’=-y
sinx 和 cosx既不恒等于0,同时满足y‘’=-y,故与原假设矛盾,从而sinx 和 cosx 都不是多项式函数