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设n元线性方程组Ax=b,其中A=2a10a22a⋱⋱⋱10a22an×n,x=(x1,…,xn)T,b=(1,0,…,0)T.(1)证明行列式|A|=(n+1)an.(2)a为何值时,方程组有唯一解?并求x1.(3)a为何值时,方程

题目详情
设n元线性方程组Ax=b,其中A=
2a1 0
a22a 
 1
0 a22a
n×n,x=(x1,…,xnT,b=(1,0,…,0)T
(1)证明行列式|A|=(n+1)an
(2)a为何值时,方程组有唯一解?并求x1
(3)a为何值时,方程组有无穷多解?求通解.
▼优质解答
答案和解析
(1)当a=0时,|A|=0;
当a≠0时,
利用行列式性质,有
|A|=
.
2a1 0
a22a 
 1
0 a22a
.

=
.
2a1    
0
3a
2
1 0 
 a22a1  
   
 0 a22a1
    a22a
.

=
.
2a1    
0
3a
2
1 0 
 0
4a
3
1  
   
 0 0
na
n−1
1
    0
(n+1)a
n
.

=2a•
3a
2
4a
3
•…•
na
n−1
(n+1)a
n

=(n+1)an
(2)若方程组Ax=b有唯一解,则|A|=(n+1)an≠0,即a≠0.
由克莱姆法则,可得
x1=
.
11    
02a1 0 
 a22a1  
   
 0 a22a1
    a22a
.
|A|
=
1×nan−1
(n+1)an
=
n
(n+1)a

(3)若使方程组Ax=b有无穷多解,则|A|=(n+1)an=0,即a=0.
把a=0代入到矩阵A中,显然有r(A┋B)=r(A)=n-1,
故方程组的基础解系含一个解向量,
它的基础解系为k(1,0,0,…,0)T(k为任意常数).
代入a=0后,方程组化为
x2=1
x3=x4=…=xn=0

故特解为(0,1,0,…,0)T
由线性方程组解的结构定理可得,
方程组Ax=b的通解为k(1,0,0,…,0)T+(0,1,0,…,0)T,其中k为任意常数.