设n元线性方程组Ax=b，其中A=2a10a22a⋱⋱⋱10a22an×n，x=（x1，…，xn）T，b=（1，0，…，0）T．（1）证明行列式|A|=（n+1）an．（2）a为何值时，方程组有唯一解？并求x1．（3）a为何值时，方程

Question

设n元线性方程组Ax=b，其中A=

2a	1		0
a2	2a	⋱
	⋱	⋱	1
0		a2	2a

n×n，x=（x₁，…，x_n）^T，b=（1，0，…，0）^T．
（1）证明行列式|A|=（n+1）aⁿ．
（2）a为何值时，方程组有唯一解？并求x₁．
（3）a为何值时，方程组有无穷多解？求通解．

Answer 1

（1）当a=0时，|A|=0；
当a≠0时，
利用行列式性质，有
|A|=

.

2a	1		0
a2	2a	⋱
	⋱	⋱	1
0		a2	2a

.

=

.

2a	1
0	(3a)/(2)	1		0
	a2	2a	1
		⋱	⋱	⋱
	0		a2	2a	1
				a2	2a

.

=

.

2a	1
0	(3a)/(2)	1		0
	0	(4a)/(3)	1
		⋱	⋱	⋱
	0		0	(na)/(n−1)	1
				0	((n+1)a)/(n)

.

=2a•(3a)/(2)•(4a)/(3)•…•(na)/(n−1)•((n+1)a)/(n)
=（n+1）aⁿ．
（2）若方程组Ax=b有唯一解，则|A|=（n+1）aⁿ≠0，即a≠0．
由克莱姆法则，可得
x₁=(.1102a10a22a1⋱⋱⋱0a22a1a22a.)/(|A|)=(1×nan−1)/((n+1)an)=(n)/((n+1)a)．
（3）若使方程组Ax=b有无穷多解，则|A|=（n+1）aⁿ=0，即a=0．
把a=0代入到矩阵A中，显然有r（A┋B）=r（A）=n-1，
故方程组的基础解系含一个解向量，
它的基础解系为k（1，0，0，…，0）^T（k为任意常数）．
代入a=0后，方程组化为

x2＝1

x3＝x4＝…＝xn＝0

，
故特解为（0，1，0，…，0）^T．
由线性方程组解的结构定理可得，
方程组Ax=b的通解为k（1，0，0，…，0）^T+（0，1，0，…，0）^T，其中k为任意常数．