早教吧 育儿知识 作业答案 考试题库 百科 知识分享

已知函数f(x)=x(x+a)-lnx,其中a为常数.(1)当a=-1时,求f(x)的极值;(2)若f(x)是区(12,1)内的单调函数,求实数a的取值范围;(3)过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f(x)相

题目详情
已知函数f(x)=x(x+a)-lnx,其中a为常数.
(1)当a=-1时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)是区(
1
2
,1)内的单调函数,求实数a的取值范围;
(3)过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f(x)相切?请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
当a=-1时,f(x)=x(x-1)-lnx,则f′(x)=2x-1-
1
x
=
2x2-x-1
x
=
(2x+1)(x-1)
x
(x>0),
∴(2x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-
1
2

当(2x+1)(x-1)<0时,得-
1
2
<x<1,又定义域为x∈(0,+∞),
∴f(x)在区间(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.于是f(x)有极小值f(1)=0,无极大值.
(2)易知f′(x)=2x+a-
1
x
,f(x)在区间(
1
2
,1)内单调递增,所以
由题意可得f′(x)=2x+a-
1
x
=0在(
1
2
,1)内无解,即f′(
1
2
)≥0或f'(1)≤0,解得
实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
(3)设切点(t,t2+at-lnt),k=2t+a-
1
t
,∴切线方程为y=(2t+a-
1
t
)(x-t)+t2+at-lnt.
∵切线过原点(0,0),∴0=(2t+a-
1
t
)(-t)+t2+at-lnt,化简得t2-1+lnt=0(※).
设h(t)=t2-1+lnt(t>0),则h′(t)=2t+
1
t
>0,所以h(t)在区间(0,+∞)内单调递增.
又h(1)=0,故方程(※)有唯一实根t=1,从而满足条件的切线只有一条.