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已知函数f(x)=x(x+a)-lnx,其中a为常数.(1)当a=-1时,求f(x)的极值;(2)若f(x)是区(12,1)内的单调函数,求实数a的取值范围;(3)过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f(x)相
题目详情
已知函数f(x)=x(x+a)-lnx,其中a为常数.
(1)当a=-1时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)是区(
,1)内的单调函数,求实数a的取值范围;
(3)过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f(x)相切?请说明理由.
(1)当a=-1时,求f(x)的极值;
(2)若f(x)是区(
1 |
2 |
(3)过坐标原点可以作几条直线与曲线y=f(x)相切?请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),
当a=-1时,f(x)=x(x-1)-lnx,则f′(x)=2x-1-
=
=
(x>0),
∴(2x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-
,
当(2x+1)(x-1)<0时,得-
<x<1,又定义域为x∈(0,+∞),
∴f(x)在区间(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.于是f(x)有极小值f(1)=0,无极大值.
(2)易知f′(x)=2x+a-
,f(x)在区间(
,1)内单调递增,所以
由题意可得f′(x)=2x+a-
=0在(
,1)内无解,即f′(
)≥0或f'(1)≤0,解得
实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
(3)设切点(t,t2+at-lnt),k=2t+a-
,∴切线方程为y=(2t+a-
)(x-t)+t2+at-lnt.
∵切线过原点(0,0),∴0=(2t+a-
)(-t)+t2+at-lnt,化简得t2-1+lnt=0(※).
设h(t)=t2-1+lnt(t>0),则h′(t)=2t+
>0,所以h(t)在区间(0,+∞)内单调递增.
又h(1)=0,故方程(※)有唯一实根t=1,从而满足条件的切线只有一条.
当a=-1时,f(x)=x(x-1)-lnx,则f′(x)=2x-1-
1 |
x |
2x2-x-1 |
x |
(2x+1)(x-1) |
x |
∴(2x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-
1 |
2 |
当(2x+1)(x-1)<0时,得-
1 |
2 |
∴f(x)在区间(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.于是f(x)有极小值f(1)=0,无极大值.
(2)易知f′(x)=2x+a-
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x |
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2 |
由题意可得f′(x)=2x+a-
1 |
x |
1 |
2 |
1 |
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实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
(3)设切点(t,t2+at-lnt),k=2t+a-
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t |
1 |
t |
∵切线过原点(0,0),∴0=(2t+a-
1 |
t |
设h(t)=t2-1+lnt(t>0),则h′(t)=2t+
1 |
t |
又h(1)=0,故方程(※)有唯一实根t=1,从而满足条件的切线只有一条.
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