试利用不等式||A|-|B||

Question

试利用不等式||A|-|B||<=|A-B|,说明:若limxn=a,则lin|xn|=|a|.考察数列xn=(-1)^n,说明上述结论反之不成立

Answer 1

由limxn=a
有对任意e>0.存在N,当n>N时有
| xn-a |所以当n>N时有
| |xn| - |a| | <= | xn-a |所以,由极限定义,lim|xn|=|a|.
xn=(-1)^n时,|xn|=1,是常数例,所以极限是1
但xn它本身是如下形式的数列
1,-1,1,-1.
所以是不收敛的
所以反之不成立