已知抛物线x^2=4y,过焦点F,倾斜角为45度的直线交抛物线于A,B两点,则线段AB的长为

Question

已知抛物线x^2=4y,过焦点F,倾斜角为45度的直线交抛物线于A,B两点,则线段AB的长为

Answer 1

∵抛物线为x²=4y,∴焦点在y轴上,p/2=1.即焦点坐标为F(0,1).
又∵倾斜角为45度的直线方程为y=x+b,现直线经过F点.∴直线方程为y=x+1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=x+1代人x²=4y整理可得x²-4x-4=0.由韦达定理得x1+x2=4；x1•x2=-4
∴(x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1•x2=32.
又∵y1=x1+1,y2=x2+1.∴(y1-y2)²=(x1-x2)²=32.
∴AB=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]=8