过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，过点作抛物线的切线交轴于点，过点作切线的垂线交轴于点。（1）若，求此抛物线与线段以及线段所围

Question

过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线交抛物线于 、 两点，过点 作抛物线的切线 交 轴于点 ，过点 作切线 的垂线交 轴于点 。

（1） 若 ，求此抛物线与线段 以及线段 所围成的封闭图形的面积。
（2） 求证： ；

Answer 1

过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线交抛物线于 、 两点，过点 作抛物线的切线 交 轴于点 ，过点 作切线 的垂线交 轴于点 。

（1） 若 ，求此抛物线与线段 以及线段 所围成的封闭图形的面积。
（2） 求证： ；

(1) 。（2）利用抛物线定义证明

试题分析：(1)    1分
从而直线 的方程为 ，与抛物线方程 联立得   2分
，即    3分
弓形 的面积为 ，   4分
三角形 的面积为  …5分
所以所求的封闭图形的面积为 。   6分
（2）证明：如图，焦点 ,设    7分

由 ，知 ， ，   8分
直线 的方程为： ，   9分
令 ，得 ，点 ，   10分
则 。由抛物线定义知 ，即 ，   11分
直线 的方程为 ，令 得到    …12分
所以 ，故 。   13分
点评：解答抛物线综合题时，应根据其几何特征熟练的转化为数量关系（如方程、函数），再结合代数方法解答，这就要学生在解决问题时要充分利用数形结合、设而不求、弦长公式及韦达定理综合思考，重视对称思想、函数与方程思想、等价转化思想的应用