过双曲线上任一点分别作两条渐近线的平行线，证明：这两条与渐近线所围成的平行四边形的面积为定值．

Question

过双曲线上任一点分别作两条渐近线的平行线，证明：这两条与渐近线所围成的平行四边形的面积为定值．

Answer 1

证明：设双曲线方程为：(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a，b＞0），
渐近线方程为l₁：y=(b)/(a)x，l₂：y=-(b)/(a)x，
设点P（m，n），这两条平行线与渐近线所围成的平行四边形为PMON，
则直线PN：y=(b)/(a)x+n-(b)/(a)m，
直线PM：y=-(b)/(a)x+n+(b)/(a)m，
由直线l₁和直线PM，解得交点M（(an+bm)/(2b)，(an+bm)/(2a)）．
平行线l₁，PN之间的距离为(|n−(b)/(a)m|)/(√(1+(b2)/(a2)))=(|an−bm|)/(c)，
则平行四边形的面积为(|an−bm|)/(c)•√(((an+bm)/(2b))2+((an+mb)/(2a))2)
=(|an−bm|)/(c)•(|acn+bcm|)/(2ab)=

作业帮用户 2017-11-08

问题解析

设双曲线方程为：

(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a，b＞0），渐近线方程为l₁：y=(b)/(a)x，l₂：y=-(b)/(a)x，求出平行线PM，PN的方程，求出交点M，及平行线l₁，PN之间的距离，运用平行四边形的面积公式，化简整理，再由P在双曲线上，满足双曲线方程，即可得证．

名师点评

本题考点：

双曲线的简单性质．

考点点评：

本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查两直线平行的位置，以及距离公式，考查运算化简能力，属于中档题．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议