已知双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的中心为O，过其右焦点F的直线与两条渐近线交于A，B，FA与BF同向，且FA⊥OA，若|OA|+|OB|=2|AB|，则双曲线的离心率为52

Question

已知双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的中心为O，过其右焦点F的直线与两条渐近线交于A，B，

FA

与

BF

同向，且

FA

⊥

OA

，若|

OA

|+|

OB

|=2|

AB

|，则双曲线的离心率为

(√(5))/(2)

数学

作业帮用户2017-11-13

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优质解答

由条件知，|OA|²+|AB|²=|OB|²，
因为|

OA

|+|

OB

|=2|

AB

|，|OA|²+|AB|²=|OB|²，
所以|OA|：|AB|：|OB|=3：4：5，
于是tan∠AOB=(4)/(3)．
因为

FA

与

BF

同向，所以过F作直线l₁的垂线与双曲线相交于同一支．
而双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程分别为(x)/(a)±(y)/(b)=0，故(2•(b)/(a))/(1−((b)/(a))2)=(4)/(3)，
解得a=2b，
故双曲线的离心率e=(c)/(a)=

作业帮用户 2017-11-13

问题解析

由勾股定理、|

OA

|+|

OB

|=2|

AB

|，得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．

名师点评

本题考点：

双曲线的简单性质．

考点点评：

本题考查了双曲线的简单性质，确定tan∠AOB=(4)/(3)，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．

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Answer 1

由条件知，|OA|²+|AB|²=|OB|²，
因为|

OA

|+|

OB

|=2|

AB

|，|OA|²+|AB|²=|OB|²，
所以|OA|：|AB|：|OB|=3：4：5，
于是tan∠AOB=(4)/(3)．
因为

FA

与

BF

同向，所以过F作直线l₁的垂线与双曲线相交于同一支．
而双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程分别为(x)/(a)±(y)/(b)=0，故(2•(b)/(a))/(1−((b)/(a))2)=(4)/(3)，
解得a=2b，
故双曲线的离心率e=(c)/(a)=

作业帮用户 2017-11-13

问题解析

由勾股定理、|

OA

|+|

OB

|=2|

AB

|，得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．

名师点评

本题考点：

双曲线的简单性质．

考点点评：

本题考查了双曲线的简单性质，确定tan∠AOB=(4)/(3)，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．

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