已知直线l与双曲线C：x2-y24=1交于A，B两点，且线段AB的中点为（2，1），则直线l的方程是．

Question

已知直线l与双曲线C：x²- (y2)/(4)=1交于A，B两点，且线段AB的中点为（2，1），则直线l的方程是___．

Answer 1

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁²-(y12)/(4)=1，x₂²-(y22)/(4)=1，
两式相减可得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）-((y1-y2)(y1+y2))/(4)=0，
M为AB的中点，即有x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
可得直线AB的斜率为k=(y1-y2)/(x1-x2)=(4(x1+x2))/(x1+x2)=(4×4)/(2)=8，
即有直线AB的方程为y-1=8（x-2），即为8x-y-15=0．
由y=8x-15代入双曲线的方程x²-(y2)/(4)=1，可得60x²-240x+229=0，
即有△=240²-4×60×229=240×11>0，故存在直线AB．
故答案为：y=8x-15．