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已知:如图,圆O:x2+y2=2交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F,若P是圆O上一点,连接PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆的左准线l于点Q.(1)求椭圆
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已知:如图,圆O:x 2 +y 2 =2交x轴于A,B两点,曲线C是以AB为长轴,离心率为 的椭圆,其左焦点为F,若P是圆O上一点,连接PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆的左准线l于点Q. (1)求椭圆的标准方程; (2)若点P的坐标为(1,1),①求线段PQ的长;②求证:直线PQ与圆O相切. |
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▼优质解答
答案和解析
(1)设椭圆C的标准方程为 因为圆O:x 2 +y 2 =2交x轴于A,B两点, 所以|AB|=2 ∵曲线C是以AB为长轴, ∴ , ∴ ∵椭圆的离心率为 , ∴c=1, ∴ ∴此椭圆的标准方程为 (2)①由(1)知椭圆的左焦点F(﹣1,0),而点P(1,1) 所以直线PF的方程为 ,即 直线QO的方程为y=﹣2x,而椭圆的左准线方程为x=﹣2, 所以点Q的坐标为(﹣2,4) 因此|PQ|=3 ②证明:直线PQ的方程为:y=﹣(x﹣1)+1,即x+y﹣2=0 而点O到直线PQ的距离为d= 所以直线PQ与圆O相切 |
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