一个三棱锥S-ABC的三视图、直观图如图．(1)求三棱锥S-ABC的体积；(2)求点C到平面SAB的距离；(3)求二面角S-AB-C的余弦值．

Question

一个三棱锥S-ABC的三视图、直观图如图．

(1)求三棱锥S-ABC的体积；
(2)求点C到平面SAB的距离；
(3)求二面角S-AB-C的余弦值．____

Answer 1

【分析】(1)由已知中的三视图，我们可以判断出已知三棱锥B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，进而我们求出底面ABC的面积和高SO的长，代入棱锥体积公式即可得到答案．
(2)以O为原点，OA为x轴，过O且平行于BD的直线为y轴，OS为z轴，建立如图空间直角坐标系，求出面SAB的一个法向量，代入公式，即可求出点C到平面SAB的距离；
(3)求出平面ABC一个法向量，结合(2)中面SAB的一个法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角S-AB-C的余弦值．

(1)
由正视图、俯视图知AC=4；
由正视图、侧视图知，点B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，
则BD=3，BD⊥平面SAC，
∴BD⊥AC.
由俯视图、侧视图知，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，
则SO=2，SO⊥平面ABC，
∴SO⊥AC，
∴三棱锥S-ABC的体积；
(2)以O为原点，OA为x轴，过O且平行于BD的直线为y轴，OS为z轴，建立如图空间直角坐标系，

则S(0，0，2)A(3，0，0)B(1，3，0)，
∴.
设是平面SAB的一个法向量，
则，取，
可知，
设点C到平面SAB的距离为d，
则．
(3)可知是平面ABC一个法向量，
故，
∴二面角S-AB-C的余弦值为．

【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，棱锥的体积，点到平面的距离公式，其中(1)的关键是根据已知的三视图判断出几何体的形状及底面棱长，高等关键的几何量，(2)(3)的关键是要建立适当的空间坐标系，熟练掌握向量法求距离和夹角的公式．