已知，棱长为2的正方体内有一内接四面体A-BCD，且B，C分别为正方体某两条棱的中点，其三视图如图所示：（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求四面体A-BCD的体积．

Question

已知，棱长为2的正方体内有一内接四面体A-BCD，且B，C分别为正方体某两条棱的中点，其三视图如图所示：

（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）求四面体A-BCD的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由已知中的三视图，可得A，B，C，D四点位置如下图所示：

∵正方体的棱长为2，故AB=BD=AC=CD=√(5)，AD=2√(3)，BC=√(6)，
令E为AD的中点，连接BE，CE，
则BE⊥AD，CE⊥AD，
则AD⊥平面BCE，
∴AD⊥BC；
（Ⅱ） 由勾股定理可得：BE=CE=√(2)，
由海伦公式平面BCE的面积S=(√(3))/(2)，
又由AD=2√(3)，
故四面体A-BCD的体积V=(1)/(3)×(√(3))/(2)×2√(3)=1．