一个空间几何体G-ABCD的三视图如图所示，其中Ai，Bi，Ci，Di，Gi（i=1，2，3）分别是A，B，C，D五点在直立、侧立、水平三个投影面内的投影，且在主视图中，四边形A1B1C1D1为正方形且A1B1=2a；在

Question

一个空间几何体G-ABCD的三视图如图所示，其中A_i，B_i，C_i，D_i，G_i（i=1，2，3）分别是A，B，C，D五点在直立、侧立、水平三个投影面内的投影，且在主视图中，四边形A₁B₁C₁D₁为正方形且A₁B₁=2a；在左视图中A₂D₂⊥A₂G₂，俯视图中A₃G₃=B₃G₃，
（Ⅰ）根据三视图作出空间几何体G-ABCD的直观图，并标明A，B，C，D，G五点的位置；
（Ⅱ）在空间几何体G-ABCD中，过点B作平面AGC的垂线，若垂足H在直线CG上，求证：平面AGD⊥平面BGC；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求三棱锥D-ACG的体积及其外接球的表面积．

Answer 1

（Ⅰ）空间几何体的直观图如图所示，

（Ⅱ）在空间几何体G-ABCD中，平面ABCD⊥平面ABG，四边形ABCD为正方形，
AG=BG=√(2)a，AB=2a，
故AG⊥BG（4分）
∵平面ABCD⊥平面ABG，
面ABCD∩平面ABG=AB，CB⊥AB，
∴CB⊥平面ABG，故CB⊥AG（6分）
又AG⊥BG，
∴AG⊥平面BGC．
∴平面AGD⊥平面BGC（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，AG⊥GB，AG⊥CG，
∴△ABG为等腰直角三角形，
过点G作GE⊥AB于点E，则GE=(1)/(2)AB=a，AG=BG=√(2)a
∴VD-ACG=VG-ADC=(1)/(3)•(1)/(2)AD•DC•GE=(2)/(3)a3…（9分）
取AC的中点M，由于△AGC和△ACD均为直角三角形，
所以MD=MG=MA=MC=(1)/(2)AC=√(2)a
∴M是四棱锥D-ACG的外接球的球心，半径为√(2)a，
S球=4π(√(2)a)2=8πa2…（12分）