用反证法证明：若a，b，c，d均为小于1的正数，且x=4a（1-b），y=4b（1-c），z=4c（1-d），t=4d（1-a），则x，y，z，t四个数中，至少有一个不大于1．

Question

用反证法证明：若a，b，c，d均为小于1的正数，且x=4a（1-b），y=4b（1-c），z=4c（1-d），t=4d（1-a），则x，y，z，t四个数中，至少有一个不大于1．

Answer 1

证明：用反证法，
假设x，y，z，t均为小于1的正数，则4a（1-b）≤[a+（1-b）]²=（a-b+1）²…①
4b（1-c）≤[b+（1-c）]²=（b-c+1）²…②
4c（1-d）≤[c+（1-d）]²=（c-d+1）²…③
4d（1-a）≤[d+（1-a）]²=（d-a+1）²…④
不妨就设4a（1-b）、4b（1-c）、4c（1-d）都大于1，显然，可得：a-b>0；b-c>0；c-d>0，
那么肯定a-d>0，于是代入④中有：4d（1-a）<1
同理可以证明当某3项大于1时，剩下1项肯定小于1，
因此，4a（1-b）、4b（1-c）、4c（1-d）、4d（1-a）这四个数不可能都大于1，即原命题得证．