过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所

Question

过抛物线E：x ² =2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k ₁ ，k ₂ 的两条不同直线l ₁ ，l ₂ ，且k ₁ +k ₂ =2．l ₁ 与E交于点A，B，l ₂ 与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．
（I）若k ₁ ＞0，k ₂ ＞0，证明：

FM

•

FN

＜2 p 2 ；
（II）若点M到直线l的距离的最小值为 (75)/(5) ，求抛物线E的方程．

Answer 1

（I） 由题意，抛物线E的焦点为 F(0，(p)/(2) ) ，直线l ₁ 的方程为 y= k 1 x+(p)/(2) ．
由

y= k 1 x+(p)/(2)

x 2 =2py

，得 x 2 -2p k 1 x- p 2 =0 ．
设A，B两点的坐标分别为（x ₁ ，y ₁ ），（x ₂ ，y ₂ ），则x ₁ ，x ₂ 是上述方程的两个实数根．
从而x ₁ +x ₂ =2pk ₁ ， y 1 + y 2 = k 1 ( x 1 + x 2 )+p=2p k 1 2 +p ．
所以点M的坐标为 (p k 1 ，p k 1 2 +(p)/(2) ) ，

FM

=(p k 1 ，p k 1 2 ) ．
同理可得点N的坐标为 (p k 2 ，p k 2 2 +(p)/(2) ) ，

FN

=(p k 2 ，p k 2 2 ) ．
于是

FM

•

FN

= p 2 ( k 1 k 2 + k 1 2 k 2 2 ) ．
由题设k ₁ +k ₂ =2，k ₁ ＞0，k ₂ ＞0，k ₁ ≠k ₂ ，所以0＜ k 1 k 2 ＜((k1 + k2)/(2) ) 2 =1 ．
故

FM

•

FN

＜ p 2 (1+ 1 2 )=2 p 2 ．
（Ⅱ）由抛物线的定义得 |FA|= y 1 +(p)/(2) ， |FB|= y 2 +(p)/(2) ，
所以 |AB|= y 1 + y 2 +p=2p k 1 2 +2p ，从而圆M的半径 r 1 =p k 1 2 +p ．
故圆M的方程为 (x-p k 1 ) 2 +(y-p k 1 2 -(p)/(2) ) 2 =( p k 1 2 +p) 2 ，
化简得 x 2 + y 2 -2p k 1 x-p(2 k 1 2 +1)y-(3)/(4) p 2 =0 ．
同理可得圆N的方程为 x 2 + y 2 -2p k 2 x-p(2 k 2 2 +1)y-(3)/(4) p 2 =0
于是圆M，圆N的公共弦所在的直线l的方程为 ( k 2 - k 1 )x+( k 2 2 - k 1 2 )y=0 ．
又k ₂ -k ₁ ≠0，k ₁ +k ₂ =2，则l的方程为x+2y=0．
因为p＞0，所以点M到直线l的距离为
d=(|2p k12 +p k1 +p|)/(5) =(p|2 k12 + k1 +1|)/(5) = (p[2( k1 +(1)/(4))2 +(7)/(8)])/(5) ．
故当 k 1 =-(1)/(4) 时，d取最小值 (7p)/(85) ．由题设 (7p)/(85) =(75)/(5) ，解得p=8．
故所求抛物线E的方程为x ² =16y．