已知函数p（x）=lnx-x+4，q（x）=aexx(a∈R)．（1）若函数y=p（x），y=q（x）的图象有平行于坐标轴的公切线，求a的值；（2）若关于x的不等式p（x）-4<q（x）的解集中有且只有两个整数，求a的

Question

已知函数p（x）=lnx-x+4，q（x）=(aex)/(x)(a∈R)．
（1）若函数y=p（x），y=q（x）的图象有平行于坐标轴的公切线，求a的值；
（2）若关于x的不等式p（x）-4<q（x）的解集中有且只有两个整数，求a的取值范围．

Answer 1

（1）由题知p'（x）=q'（x），即(1-x)/(x)=(aex(x-1))/(x2)，
当x=1£¬p'（1）=q'（1）=0，即x=1是y=p（x），y=q（x）的极值点，
所以公切线的斜率为0，所以p（1）=q（1），lnl-1+4=ae，可得a=(3)/(e)．
（2）p（x）-4>q（x）等价于lnx-x<(aex)/(x)，a>(xlnx-x2)/(ex)，
令h(x)=(xlnx-x2)/(ex)，则h′(x)=((x-1)(x-1-lnx))/(ex)，
令φ（x）=x-lnx-1，则φ′(x)=1-(1)/(x)=(x-1)/(x)，
即φ（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）单调递增．
φ（x）_min=φ（1）=0，∴φ（x）≥0恒成立，
所以h（x）在（0，1）上单调递减，（1，+∞）单调递增．
h(x)min=h(1)=(-1)/(e)，h(1)<h(2)=(2ln2-4)/(e2)<h(3)=(3ln3-9)/(e3)，
因为解集中有且只有两个整数(2ln2-4)/(e2)<a≤(3ln3-9)/(e3)．