平面几何证明平面上有三个大小不等的圆,证每两个圆的两条公切线的交点共三个点共线

Question

平面几何证明
平面上有三个大小不等的圆,证每两个圆的两条公切线的交点共三个点共线

Answer 1

这个结论其实还要细致一点.
两个圆有一对内公切线和一对外公切线,三个圆有共三个内公切线交点和三个外公切线交点.
结论是三个外公切线交点共线,每两个内公切线交点和一个外公切线交点共线.
所以共有四组三点共线.
证明使用梅内劳斯(Menelaus)逆定理.
考虑三圆圆心组成的三角形设为△ABC.
⊙B与⊙C的内公切线交点D在线段BC上,BD:DC=⊙B与⊙C半径比,
外公切线交点P在直线BC上线段BC外,仍有BP:PC=⊙B与⊙C半径比.
另外两组有同样结论.
于是三个外公切线交点均在△ABC相应线段的外侧,
且分比之积=⊙B与⊙C半径比*⊙C与⊙A半径比*⊙A与⊙B半径比=1.
由梅内劳斯逆定理知他们共线.
两内一外的情况类似.