（2001•青岛）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，AB为⊙O1、⊙O2的外公切线，切点分别为A、B，连心线O1O2分别交⊙O1于D、交AB于C，连接AD、AP、BP．求证：（1）AD∥BP；（2）CP•CO1=CD•CO2；（3

Question

（2001•青岛）已知：如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点P，AB为⊙O₁、⊙O₂的外公切线，切点分别为A、B，连心线O₁O₂分别交⊙O₁于D、交AB于C，连接AD、AP、BP．求证：（1）AD∥BP；（2）CP•CO₁=CD•CO₂；（3）(AD)/(AP)＝(PC)/(BC)．

Answer 1

证明：（1）过P作两圆的内公切线PE交AB于E，
∵EA、EP为⊙O₁的切线，
∴EA=EP，
同理：EB=EP，
∴∠APB=90°，
∵PD是⊙O₁的直径，
∴∠DAP=90°，
∴∠APB=∠DAP，
∴AD∥BP；

（2）由（1）知：AD∥BP⇒(CP)/(CD)＝(CB)/(CA)，
连接O₁A、O₂B，AB分别切两圆于A、B，
∴

O1A⊥AB

O2B⊥AB

⇒O1A∥O2B⇒(CO2)/(CO1)＝(CB)/(CA)，
∴(CP)/(CD)＝(CO2)/(CO1)，
∴CP•CO₁=CD•CO₂；

（3）由（1）知：∠DAP=∠APB，
又AB是⊙O₁的切线，AP是⊙O₁的弦，
∴∠D=∠PAB，
∴△DAP∽△APB，
∴(AD)/(AP)＝(AP)/(BP)，
又∵

AD||BP⇒∠BPC＝∠D

∠PAC＝∠PAB＝∠D

⇒

∠BPC＝∠PAC ∠C＝∠C

作业帮用户 2017-09-24 问题解析 （1）根据圆的切线的性质即可证得∠APB=∠DAP，即可证得两直线平行； （2）利用平行线分线段成比例定理即可证明； （3）首先证明△DAP∽△APB，和△CPA∽△CBP，即可求证． 名师点评 本题考点： 相切两圆的性质；相似三角形的判定与性质． 考点点评： 本题主要考查了切线的性质，以及三角形相似的判定，线段的比相等的问题一般可以转化为证明三角形相似的问题解决． 扫描下载二维码 ©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议