已知矩形ABCD.以AD,AB为边向内做等边三角形ADE和等边三角形ABF,延长DF,BE相交于点G(1)求证：DF=BE。(2)猜想∠EGF的度数，并说明理由。（3）当点G位于对角线AC上时，求证∠DGA=∠BGA并直接写出GE与BE

Question

已知矩形ABCD.以AD,AB为边向内做等边三角形ADE和等边三角形ABF,延长DF,BE相交于点G(1)求证：DF=BE。(2)猜想∠EGF的度数，并说明理由。（3）当点G位于对角线AC上时，求证∠DGA=∠BGA并直接写出GE与BE的数量关系。图交代的很清楚，可自行脑部。请写出详细步骤，十分感谢。

Answer 1

（1）证明：∵△ADE和△ABF都是正三角形，∴AF=AB,AD=AE,∠DAE=∠FAB=60°, ∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°,∴∠DAF=∠EAB=30°,∴△ADF≌△ABE(SAS)∴DF＝BE„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分（2）∠EGF=120°,„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分∠EGF＝∠DFB-∠FBG=60°+∠AFD-∠FBG=60°+∠ABF-∠FBG60°+60°+∠FBG-∠FBG=120°,„„„„„„„„„„„6分（3）①过点A作AM⊥DG，AN⊥BG于点M、N， ∵△ADF≌△ABE（已证）,∴∠DFA=∠EBA，AF=AB,又∵∠FMA=∠BNA=90°,，∴△AMF≌△ABN,„„„„„„„„„„„„8分∴AM=AN, ∵∠FMA=∠BNA=90°,∴∠DGA=∠BGA,„„„„„„„„„10分 ②3BEGE„„„„„„„„„„„„12分理由：连接EF，由题意可知AE垂直平分BF，所以EF＝BE，又因∠EGF=120°,∠DGA=∠BGA（已证） 所以∠BGA＝60°, 第9页共9页 由条件又可证EF⊥AC于点H，可得EH=FH,在Rt△GEH中 sinEHAGEGE ,即sin60EH GE 所以23EHGE,即3BEGE