凸n边形的任意3条对角线不相交于形内的一点,问:(1)这些对角线将凸边形分成了多少个区域?(2)这些对角线被交点分成了多少条线段?

Question

凸n边形的任意3条对角线不相交于形内的一点,问:(1)这些对角线将凸边形分成了多少个区域?(2)这些对角线被交点分成了多少条线段?

Answer 1

n边形 对角线数L 区域数S 线段数D
3 0 0 0
4 2 4 4
5 5 16 25
6 9 46 81
… … … …
n边形：
对角线数：L = n(n-3)/2
区域数：S = [L(L+1)/2]+1 = [n(n-3)(n-2)(n+1)/8]+1
线段数：D = L² = n²(n-3)²/4
这个问题可以分解为：(a)、n边形有多少条对角线；(b)、园内,L条直线两两相交、且无三线公点,能将圆分割成多少个区域；交点将直线分割成多少条线段?
n边形,从每个顶点出发,可以引(n-3)条对角线,每条对角线经过2个顶点,故
n边形对角线数：L = n(n-3)/2
L条直线两两相交、且无三线公点,
显然,L=1,S=2,D=1；L=2,S=4,D=4；L=3,S=7,D=9；
每增加一条直线时,都与原有的(L-1)条直线相交,把每条直线都分割为L段线段,
故总的线段数：D = L²
这条新增的直线在被分割为L条线段的同时,每条线段把其所经过的原来区域分割成两个新的区域,即增加L个新的区域,有：SL = S(L-1) + L （前一个L,和(L-1)为下标；后一个L为数字）
也就是区域数：S = [L(L+1)/2]+1