用向量法证明三角形三条高线相交于一点另一道:直径所对的圆周角是直角

Question

用向量法证明三角形三条高线相交于一点
另一道:直径所对的圆周角是直角

Answer 1

1.证明：以AB边为x轴,AB边上的高为y轴(垂足为原点)建立直角坐标系,设A(a,0),B(b,0),C(0,c),且a≠b．
BC边与AC边的高线交于点P(x,y),
(向量)BP＝(x-b,y), AP＝(x-a,y)
BC＝(-b,c), AC＝(-a,c)
∵ AC⊥BP
∴ AC·BP ＝0
∴ (-a)·(x-b)＋cy=0 ①
又 BC⊥AP , BC·AP＝0
∴ (-b)·(x-a)＋cy=0 ②
由①,②得(a-b)x＝0,
∵ a≠b,∴ x＝0,∴ 点P在AB边上的高线上,
∴ 三角形三条高线相交于一点．
2.已知⊙O,AB为直径,C为⊙O上任意一点.求证∠ACB=90°
分析：要证∠ACB=90°,只需证向量AC⊥向量CB,即：向量AC·向量CB=0
证：设向量AO=向量a,向量OC=向量b
则：向量AC=向量a+向量b,向量CB=向量a-向量b
由此可得：向量AC·向量CB=（向量a+向量b）·（向量a-向量b)=向量a的平方-向量b的平方=a向量模的平方-b向量模的平方=0（因为AO,OC都是圆的半径,是相等的）
∴向量AC·向量CB=0
∴∠ACB=90°
∴原命题得证.
注：符号难打,你将就一下哦!