△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，G是EF上的一点，且DG⊥EF．（1）连接DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连接BN、CK．是否存在三个三角形，使得它们彼此都相似，若有写出来；（

Question

△ABC的内切圆分别切BC、CA、AB三边于D、E、F，G是EF上的一点，且DG⊥EF．
（1）连接DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连接BN、CK．是否存在三个三角形，使得它们彼此都相似，若有写出来；
（2）求证：DG平分∠BGC．

Answer 1

（1）连接DF、DE，设N、K分别是DF、DE的中点，连接BN、CK．
则有：Rt△BFN∽Rt△BDN∽Rt△DEG，或Rt△CEK∽Rt△CDK∽Rt△DFG．

（2）证明：
Rt△BFN∽Rt△DEG，(BF)/(DE)＝(NF)/(GE)＝(DF)/(2GE)
Rt△CEK∽Rt△DFG，(CE)/(DF)＝(EK)/(FG)＝(ED)/(2FG)
∴BF•GE=(1)/(2)DF•DE=CE•FG
∴(BF)/(CE)＝(FG)/(GE)，而∠BFG=∠CEG
∴△BFG∽△CEG，
于是∠BGF=∠CGE．
∵DG⊥EF，∴∠BGD=∠CGD．
即DG平分∠BGC．