已知三角形ABC的三边长BC=a,AC=b,AB=c,O为ABC所在平面内一点,若aOA(向量,后面都是）+bOB+cOC=0,则O是三角形ABC的（）

Question

已知三角形ABC的三边长BC=a,AC=b,AB=c,O为ABC所在平面内一点,若aOA(向量,后面都是）+bOB+cOC=0,则O是三角形ABC的（ ）

Answer 1

答案是内心.
因为OB=AB-AO
OC=AC-AO
所以aOA+bOB+cOC=aOA+bAB-bAO+cAC-cAO
=bAB+cAC-(a+b+c)AO
而 aOA+bOB+cOC=0
所以(a+b+c)AO=bAB+cAC
即 AO=b/(a+b+c) * AB + c/(a+b+c) * AC
记AB=c*eab,AC=b*eac,其中eab eac分别表示AB AC方向上的单位向量
则 AO=bc/(a+b+c) * (eab+eac)
由该式可以看出AO位于角BAC的角平分线上,故知O只能为内心,即角平分线交点.
接下面还需要证明内心满足上式.因为上面只是证明了如果存在这样的点O,那么点O只能是内心.这个证明我一时没有想出可以方便打字的证明方法,需要画个图说明一下,你就自己琢磨一下好了,