点P为三角形ABC中位线上的动点,BP交AC于F,CP交AB于点G.AG：GB+AF：FC的值是否变化

Question

点P为三角形ABC中位线上的动点,BP交AC于F,CP交AB于点G.AG：GB+AF：FC的值是否变化

Answer 1

注意：本人所用字母和原题字母不同.
过A点作BC的平行线,延长CM和BN分别与平行线相交于H和F点,
因DE是三角形ABC的中位线,则DE‖BC,
且HF‖BC,D是AB的中点,E是AC的中点,故DP是三角形AFB的中位线,DP=AF/2,且DE=BC/2,
同理PE=AH/2,
DE=（DP+PE）=（AH+AF）/2=HF/2,
DE=BC/2,
∴HF=BC,
∵AF‖BC,〈AFN=〈CBN（内错角相等）,〈ANF=〈CNB（对顶角相等）,
∴△ANF∽△CNB,
∴AN/CN=AF/BC,.(1)
同理,AM/BM=AH/BC,.(2),
(1)式+（2）式,
AN/CN+AM/BM=AF/BC+AH/BC=HF/BC=BC/BC=1,
∴AN/CN+AM/BM=1 ,证毕.