已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，以下说法：①在△ABC中，“a，b，c成等差数列”是“acos2C2+ccos2A2=32b”的充要条件；②命题“在锐角三角形ABC中，sinA>cosB”的逆命题和逆否命题均

Question

已知△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，以下说法：
①在△ABC中，“a，b，c成等差数列”是“acos²

(C)/(2)+ccos²(A)/(2)=(3)/(2)b”的充要条件；
②命题“在锐角三角形ABC中，sinA>cosB”的逆命题和逆否命题均为真命题；
③命题“对任意三角形ABC，sinA+sinB>sinC”为假命题．
正确的个数为（　　）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Answer 1

①若acos²(C)/(2)+ccos²(A)/(2)=(3)/(2)b，
即a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，
由正弦定理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB，
即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，
可得sinA+sinC=2sinB，
由正弦定理可得，整理得：a+c=2b，故a，b，c为等差数列；反之也成立，
即，“a，b，c成等差数列”是“acos²(C)/(2)+ccos²(A)/(2)=(3)/(2)b”的充要条件；故①正确，
②在锐角三角形ABC中，则A+B>(π)/(2)，于是(π)/(2)>A>B-(π)/(2)>0，
则sinA>SIn（B-(π)/(2)）=cosB，即sinA>cosB成立，则原命题为真命题．则逆否命题也为真命题，
命题“在锐角三角形ABC中，sinA>cosB”的逆命题为：若sinA>cosB，则三角形为锐角三角形，
在三角形中，当B为钝角时，cosB<0，此时满足sinA>cosB，则命题的逆否命题为假命题．，故②错误，
③在三角形中，由正弦定理得若“对任意三角形ABC，sinA+sinB>sinC”则等价为对任意三角形ABC，a+b>c成立，
即命题“对任意三角形ABC，sinA+sinB>sinC”为真命题，故③错误，
故正确的个数是1，
故选：B