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阅读下列材料:我们定义:若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,则这条对角线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形.如正方形就是和谐四边形.结合阅
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阅读下列材料:
我们定义:若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,则这条对角线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形.如正方形就是和谐四边形.结合阅读材料,完成下列问题:

(1)下列哪个四边形一定是和谐四边形___.
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
(2)命题:“和谐四边形一定是轴对称图形”是___ 命题(填“真”或“假”).
(3)如图,等腰Rt△ABD中,∠BAD=90°.若点C为平面上一点,AC为凸四边形ABCD的和谐线,且AB=BC,请求出∠ABC的度数.
我们定义:若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形,则这条对角线叫这个四边形的和谐线,这个四边形叫做和谐四边形.如正方形就是和谐四边形.结合阅读材料,完成下列问题:

(1)下列哪个四边形一定是和谐四边形___.
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
(2)命题:“和谐四边形一定是轴对称图形”是___ 命题(填“真”或“假”).
(3)如图,等腰Rt△ABD中,∠BAD=90°.若点C为平面上一点,AC为凸四边形ABCD的和谐线,且AB=BC,请求出∠ABC的度数.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵菱形的四条边相等,
∴连接对角线能得到两个等腰三角形,
∴菱形是和谐四边形;
故选C;
(2)和谐四边形不一定是轴对称图形,如图所示:

∠C=45°,直角梯形ABCD是和谐四边形,但不是轴对称图形,
故答案为:假;
(3)∵AC是四边形ABCD的和谐线,且AB=BC,
∴△ACD是等腰三角形,
∵在等腰Rt△ABD中,AB=AD,
∴AB=AD=BC,
①如图1,当AD=AC时,
∴AB=AC=BC,∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形,
∴∠ABC=60°;
②如图2,当DA=DC时,
∴AB=AD=BC=CD.
∵∠BAD=90°,
∴四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°;
③如图3,当CA=CD时,过点C作CE⊥AD于E,过点B作BF⊥CE于F,
∵AC=CD,CE⊥AD,
∴AE=ED,∠ACE=∠DCE.
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°,
∴四边形ABFE是矩形,
∴BF=AE.
∵AB=AD=BC,
∴BF=
BC,
∴∠BCF=30°.
∵AB=BC,
∴∠ACB=∠BAC.
∵AB∥CE,
∴∠BAC=∠ACE,
∴∠ACB=∠BAC=
∠BCF=15°,
∴∠ABC=150°.
∴连接对角线能得到两个等腰三角形,
∴菱形是和谐四边形;
故选C;
(2)和谐四边形不一定是轴对称图形,如图所示:

∠C=45°,直角梯形ABCD是和谐四边形,但不是轴对称图形,
故答案为:假;
(3)∵AC是四边形ABCD的和谐线,且AB=BC,
∴△ACD是等腰三角形,
∵在等腰Rt△ABD中,AB=AD,
∴AB=AD=BC,
①如图1,当AD=AC时,
∴AB=AC=BC,∠ACD=∠ADC
∴△ABC是正三角形,

∴∠ABC=60°;
②如图2,当DA=DC时,
∴AB=AD=BC=CD.
∵∠BAD=90°,
∴四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°;
③如图3,当CA=CD时,过点C作CE⊥AD于E,过点B作BF⊥CE于F,

∵AC=CD,CE⊥AD,
∴AE=ED,∠ACE=∠DCE.
∵∠BAD=∠AEF=∠BFE=90°,
∴四边形ABFE是矩形,
∴BF=AE.
∵AB=AD=BC,
∴BF=
1 |
2 |

∴∠BCF=30°.
∵AB=BC,
∴∠ACB=∠BAC.
∵AB∥CE,
∴∠BAC=∠ACE,
∴∠ACB=∠BAC=
1 |
2 |
∴∠ABC=150°.
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