已知：四边形ABCD中，对角线的交点为O，E是OC上的一点，过点A作AG⊥BE于点G，AG、BD交于点F．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：OE=OF；（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°．探

Question

已知：四边形ABCD中，对角线的交点为O，E是OC上的一点，过点A作AG⊥BE于点G，AG、BD交于点F．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，求证：OE=OF；
（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°．探究线段OE与OF的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，若四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC=α，且AC⊥BD．结合上面的活动经验，探究线段OE与OF的数量关系为______（直接写出答案）．

Answer 1

证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，对角线的交点为O，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OA=OB，
∵AC⊥BD，AG⊥BE，
∴∠FAO+∠AFO=90°，∠EAG+∠AEG=90°，
∴∠AFO=∠BEO，
在△AOF和△BOE中，

∠AFO＝∠BEO

∠FOA＝∠EOB

OA＝OB

，
∴△AOF≌△BOE（AAS），
∴OE=OF；

（2）OF=√(3)OE．
理由：∵四边形ABCD是菱形，对角线的交点为O，∠ABC=120°
∴AC⊥BD，∠ABO=60°，
∴∠FAO+∠AFO=90°，
∵AG⊥BE，
∴∠EAG+∠BEA=90°．
∴∠AFO=∠BEO，
又∵∠AOF=∠BOE=90°，
∴△AOF∽△BOE，
∴(OF)/(OE)=(AO)/(OB)，
∵∠ABO=60°，AC⊥BD，
∴(AO)/(OB)=tan60°=√(3)．
∴OF=√(3)OE；

（3）∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠OBC=∠OCB，
∵AC⊥BD，
∴∠OBC=45°，
∵∠ABC=α，
∴∠ABO=α-45°，
∵AG⊥BE，
∴∠OAF+∠AEG=90°，
∵AC⊥BD，
∴∠OBE+∠AEG=90°，
∴∠OAF=∠OBE，
又∵∠AOF=∠BOE=90°，
∴△AOF∽△BOE，
∴(OF)/(OE)=(OA)/(OB)，
∵∠ABO=α-45°，AC⊥BD，
∴(OA)/(OB)=tan（α-45°），
∴OF=tan（α-45°）OE．
故答案为：OF=tan（α-45°）OE．