边长相等的图形中,为什么圆形面积最大(比多边形)?结论我都懂,我想要的是证明.请不要举例三角形,正方形什么的,然后列出计算结果.是任意多边形都比圆形小的证明(应该要用到极限的)

Question

边长相等的图形中,为什么圆形面积最大(比多边形)?
结论我都懂,我想要的是证明.请不要举例三角形,正方形什么的,然后列出计算结果.
是任意多边形都比圆形小的证明(应该要用到极限的)

Answer 1

证明：假设是一个正N边形,周长为L 则每条边的长度为L/N,连接某一条边的两个端点到图形中点的两条线段 设其长度为R 则这两条线段与这条边组成一个等腰三角形.
然后就是用L和N表示出正多边形的面积：S=N*每一个等腰三角形面积=N*（1/2）*R^2*sin(2t) 其中2t就是等腰三角形的顶角大小,其大小满足2t=2pi/N(pi表示圆周率) 所以化简之后得到S=L^2/(4*pi)*m*cosm/(sin m) 这里的m 即为pi/N
接下来就是要证明,这个函数是单调递增且有极限存在.
将S对于m求导可以易得是个单调递减函数 又因为m=pi/N在N为自然数的时候显然又是个单调减的函数,所以随着N增加 m逐渐减小S逐渐增加 所以同等周长的情况下,边数越多的正多边形面积越大.
下面看N趋近于无穷的情况,此时m趋近于0 后面的F（m）=m*cosm/(sin m) 是一个0/0型的极限,所以使用罗比达法则,上下对于m求导,易得原极限=(cosm-m*sin m)/(cos m) =1 所以原来的F（m）极限就是=1 所以当n趋近于无穷时 面积极限存在等于L^2/(4*pi)
证毕