如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的

Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；
（3）点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．

Answer 1

（1）将A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入抛物线y=ax²+bx+c中，得：

a-b+c=0

9a+3b+c=0

c=-3

，
解得：

a=1

b=-2

c=-3

故抛物线的解析式：y=x²-2x-3．

（2）当P点在x轴上，P，A，B三点在一条直线上时，点P到点A、点B的距离之和最短，
此时x=-(b)/(2a)=1，
故P（1，0）；

（3）如图所示：抛物线的对称轴为：x=-(b)/(2a)=1，设M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，-3），则：
MA²=m²+4，MC²=（3+m）²+1=m²+6m+10，AC²=10；
①若MA=MC，则MA²=MC²，得：
m²+4=m²+6m+10，解得：m=-1，
②若MA=AC，则MA²=AC²，得：
m²+4=10，得：m=±√(6)；
③若MC=AC，则MC²=AC²，得：
m²+6m+10=10，得：m₁=0，m₂=-6；
当m=-6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，√(6)）（1，-√(6)）（1，-1）（1，0）．