（2009•武汉）如图，抛物线y=ax2+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的

Question

（2009•武汉）如图，抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，
∴

a−b−4a＝0

−4a＝4

，
解得

a＝−1

b＝3

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+3x+4；

（2）∵点D（m，m+1）在抛物线上，
∴m+1=-m²+3m+4，
即m²-2m-3=0
∴m=-1或m=3
∵点D在第一象限
∴点D的坐标为（3，4）
由（1）知OC=OB
∴∠CBA=45°
设点D关于直线BC的对称点为点E
∵C（0，4）
∴CD∥AB，且CD=3
∴∠ECB=∠DCB=45°
∴E点在y轴上，且CE=CD=3
∴OE=1
∴E（0，1）
即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；

（3）方法一：作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，
由（1）有：OB=OC=4
∴∠OBC=45°
∵∠DBP=45°
∴∠CBD=∠PBA
∵C（0，4），D（3，4）
∴CD∥OB且CD=3
∴∠DCE=∠CBO=45°
∴DE=CE=(3)/(2)√(2)
∵OB=OC=4
∴BC=4√(2)
∴BE=BC-CE=(5)/(2)√(2)
∴tan∠PBF=tan∠CBD=

作业帮用户 2017-09-26

问题解析

（1）分析抛物线过两点，由待定系数求出抛物线解析式；
（2）根据D、E中点坐标在直线BC上，求出D点关于直线BC对称点的坐标；
（3）有两种方法：法一作辅助线PF⊥AB于F，DE⊥BC于E，根据几何关系，先求出tan∠PBF，再设出P点坐标，根据几何关系解出P点坐标；法二过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH⊥x轴于H．过Q点作QG⊥DH于G，由角的关系，得到△QDG≌△DBH，再求出直线BP的解析式，解出方程组从而解出P点坐标．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

此题考查传统的待定系数求函数解析式，第二问考查点的对称问题，作合适的辅助线，根据垂直和三角形全等来求P点坐标．

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