如图,线段AB的长为1.（1）线段AB上的点C满足关系式AC=BC*AB,求线段AC的长度；（2）线段AC上的点D满足关系式AD=CD*AC,求线段AD的长度；（3）线段AD上的点E满足关系式AE=DE*AD,求线段AE的长度；

Question

如图,线段AB的长为1. （1）线段AB上的点C满足关系式 AC=BC*AB,求线段AC的长度； （2）线段AC上的点D满足关系式 AD=CD*AC,求线段AD的长度； （3）线段AD上的点E满足关系式 AE=DE*AD,求线段AE的长度； 上面各小题的结果反映了什么规律?

Answer 1

第(1)小题：
设AC=x,根据ACxAC=BCxAB,且BC=AB-AC,AB=1
x^2=(1-x)
x^2+x-1=0
因为x>0
x=(-1+√5)/2
即 AC=(-1+√5)/2
第(2)小题:
设AD=y,根据ADxAD=CDxAC,且CD=AC-AD,已求得AC=x=(-1+√5)/2
y^2=(x-y)x
y^2+xy-x^2=0
因为y>0
y=[-x+(x√5)]/2=(3-√5)/2
即AD=(3-√5)/2
第(3)小题:
设AE=z,根据AExAE=DExAD,且DE=AD-AE,已求得AD=y=(3-√5)/2
z^2=(y-z)y
z^2+yz-y^2=0
因为z>0
z=[-y+(y√5)]/2=√5-2
即AE=√5-2
每题所求长度都是上一题所求线段的黄金分割,即
AD=[(√5-1)/2]AC
AE=[(√5-1)/2]AD